Всероссийский информационный портал «Лидер»
 

Графический способ решения задач с параметромКлимошенко Алина ДенисовнаУченица 10 «Б» класса МБОУ «Лицей №23 с этнокультурным (еврейским) компонентом», участница Проектной математической лаборатории на базе Образовательного центра «Высший балл», г. БиробиджанНаучный руководитель: Татьяна Александровна Хисматуллинак. п. н., магистр физико-математического образованияСейчас существует множество курсов по подготовке к ЕГЭ, а в школах проводятся консультации и факультативы. Но не у каждого есть возможность попасть на эти курсы, так как они платные и на консультациях в школе учитель не всегда может выдать все способы решения параметрических задач, ввиду ограниченности времени занятия. Поэтому мы решили создать проект, в котором будет бесплатно представлен материал об альтернативном способе решения параметрических задач. История возникновения задач с параметромПодтверждение интереса к параметрическим задачам можно найти в учениях древнейших ученых. В астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой уже встречаются задачи на уравнения с параметром . В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. αx² = bx «Квадраты равны числу», т. е. αx² = c«Корни равны числу», т. е. αx = c«Квадраты и числа равны корням», т. е. αx² + c = bx«Квадраты и корни равны числу», т. е. αx² + bx = c«Корни и числа равны квадратам», т. е. bx+c=ax²Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи, где была заложена основа аналитического метода решения уравнений с параметром. Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Понятие переменной величины было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650 гг.). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин. Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему – основа графического метода решения уравнений с параметром. Параметры востребованы в сложных математических решениях в разных сферах деятельности. Например, в логистике для того, чтобы составить прогноз на спрос какой-либо продукции, в расчете, помимо неизвестного, используют параметр. Также задачи с параметром распространены в астрономии. Параметры модели используются при математическом моделировании для определения движения небесных тел, изучения гравитационных систем и исследования структуры и эволюции Вселенной. Следовательно, параметрические задачи активно используются в абсолютно разных областях, где требуются сложные и точные параметрические расчеты.Методы решения задач с параметромПараметр - независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.Уравнение с параметром — математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.На данный момент выделяют всего три метода решения параметрических задач:Аналитический метод;Функциональный метод;Графический метод.Аналитический метод решения подразумевает использование алгебраических преобразований над уравнениями, неравенствами и их системами. То есть используются те самые преобразования, которые выполняются при решении обычных уравнений и неравенств. Как правило преобразования выполняются с целью выразить неизвестное через параметр, благодаря этому находится количество корней уравнения. Например, чтобы найти количество корней квадратного уравнения, достаточно найти дискриминант этого квадратного уравнения. При аналитическом решении важно также не забывать про область допустимых значений неизвестного.В функциональном методе решения используются свойства функций, например, монотонность, чётность-нечётность, ограниченность, периодичность, симметричность и другие. Уравнение с параметром в этом случае рассматривается как функция или разбивается на несколько функций. С помощью их анализа определить количество корней исходного уравнения.Графический метод решения задач с параметромВ зависимости от того, какая роль параметру отведена в задаче, можно соответственно выделить два основных графических приёма:Построение графика на координатной плоскости (х;у),Построение графика на координатной плоскости на (х;а).На плоскости (х;у) или (х;а) функция y=f(x;a) задаёт семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определёнными свойствами. В первую очередь нужно определить с помощью какого преобразования плоскости можно перейти от одной прямой к другой.Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть решения уравнения состоит в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра. Решение задач с параметром графическим методомЗадача №1:Найдите все значения a, при котором уравнения x²=a имеет два различных решения.Решение:При а<0 x≠0При а=0 будет одно решениеПри а>0 будет два решенияОтвет: а∈(0; +∞)Задача №2:Найдите все значения a, при котором уравнение9x²-a²3x-9-2a=0имеет два различных решения. Решение:Данное уравнение тождественно системе:9x2-a2=03x-9-2a≠03x-a3x+a=02a≠3x-9a=3xa=-3xa≠1,5x-4,5Покажем графически, где параметр a имеет ровно два решения:Два решения будут при a<-9; -9<a<-3; -3<a<0;a>0Ответ: a∈-∞; -9∪(-9; -3)∪(-3; 0)∪(0; +∞).Задачи для самостоятельной работы с ответамиЗадание №1: Найдите все а, при каждом из которых уравнение 2x²+ax+2a+10=x-1не имеет действительных корней.Ответ: a ∈ (-4; +∞).Задание №2: Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 1-2a1+x²+a(1+x2)1+x2-21+x²=3имеет хотя бы одно решение.Ответ: а ∈ (-∞; 3) ∪ (4; +∞).Задача №3: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений 4x²-12xy+9y²+2x-6y=05x²-16xy+13y²-6x+10y+2ax-4ay+a²-2a-5=0имеет хотя бы одно решение.Ответ: а ∈ 56-7; 56+7.Задачи №4: Найдите все значения а для каждого из которых уравнение  8x6+a-x3+2x2+a=x имеет хотя бы один корень.Ответ: а ∈ (-∞; 18].Задача №5: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x4-16x²+64a²=x²+4x-8a имеет ровно  корня.Ответ: а ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; 0).