Всероссийский информационный портал «Лидер»
 

 Название статьи: Различные способы решения тестовых задач из ОГЭ и ЕГЭАвтор статьи: Дугулубгова Фатимат СултановнаМОУ СОШ№1 с.п.В.КуркужинУчитель математики высшей категории Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определённое «правило». Таким образом, в давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся в практике. Но сейчас решениям задач уделяется достаточно много внимания в школе. Умение решать задачи современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно. Для умения решать текстовые задачи важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, решение её различными способами. Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.Решение текстовых задач различными способами – дело непростое, оно требует глубоких математических знаний. При решении одной текстовой задачи различными способами привлекается дополнительная информация, т.е. рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. Ещё один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие во многом напоминает развитие человечества, поэтому использование старинных задач, разнообразных способов их решения позволяет идти в историческом контексте, что развивает творческий потенциал. Кроме того, разнообразные способы решения будят фантазию, позволяют организовать поиск решения каждый раз новым способом, что создаёт благоприятный эмоциональный фон для обучения решению задач. Тем более, статистика сдачи ЕГЭ и ОГЭ показывает, что большинство учащихся не справляются с текстовыми задачами. Актуальность данной работы можно обобщить тем, что с помощью текстовой задачи формируются важные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата.  В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений, систем, графических образов, т.е. составлять математическую модель. Целью работы является рассмотрение текстовых задач школьного курса математики и применение к их решению арифметического, алгебраического, геометрического способов решения; разбор и решение текстовых задач из ОГЭ и ЕГЭ. Алгоритмизация текстовых задач В школьном курсе математики решение текстовых задач считается одним из самых сложных для восприятия и усвоения разделов. Это объясняется в значительной степени тем, что если задачи другого рода требуют от своего решения формально-технического аппарата, применение которого алгоритмизировано, то решение текстовых сюжетных задач требует от нас еще и этапа составления уравнения или системы уравнений, понимания имеющихся в задаче условий и перевода их на математический язык. И этот этап в большей степени, чем все остальные носит эвристический характер. Чтобы облегчить данную работу нужно рассматривать любую текстовую задачу как систему, в независимости от того, является ли она задачей на движение, на работу и т.д.Итак, для того, чтобы рассматривать задачу как систему, нам необходимо определить: элементы задачи; характер взаимосвязей между элементами. Первый набор элементов, который необходимо определить в задаче как системе – это участники контекста задачи (машина и велосипед, поезда, амфибии и самолеты; рабочие и землеройки, станки и роботы и т. д.) Системы уравнений, которые составляются на основании условий задач на движение, как правило, содержат такие величины, как скорости движущихся объектов, расстояние, время, ускорение, а также скорость течения воды (движение по реке).Решая подобные задачи для различных типов движения нам необходимо определить некоторые особенности. Для равномерного движения по прямой будут характерны следующие особенности:Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь S определяется по формуле S=vt, где v - скорость, t - время.Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е. происходят без затрат времени. При этом скорость (если задана в условии) также меняется мгновенно.Скорость считается всегда величиной положительной.При движении объекта по течению реки, скорость течения которой равна u, а собственная скорость объекта в стоячей воде равна v, скорость объекта относительно берега будет равна v+u. При движении объекта против течения реки, его скорость относительно берега будет равна v-u, при этом должно выполняться неравенство v>u.Когда в условии задачи говорится о движении плотов, то можно считать, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки.Исследовав типы задач для различных типов движения из Открытого банка задач ЕГЭ по математике, мы можем разделить их на две группы – задачи на движение в одном направлении, задачи на встречное движение и движение туда и обратно, и составить для каждой группы одну общую модель решения данных задач.2.1.Алгебраический и арифметический способы решения задач на движениеВ задачах на движение за неизвестную величину x чаще всего, за неизвестную наиболее рационально принимать наименьшую из величин или то, что необходимо найти. При этом не стоит забывать о том, что нам необходимо указать дополнительное условие, т. е. например, если это скорость, то она не может быть отрицательной или равной нулю. Для решения задач достаточно правильно составить таблицей:Расстояние (км)СкоростькмчВремя (ч)Объект 1SV1t1=S:v1Объект 2SV2t2=S:v2После отбора информации из условия задачи и представления её в виде таблицы, составляем уравнение, т. е. составляем два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравниваем их, учитывая дополнительные условия.После нахождения неизвестных или нужной комбинации неизвестных, отбираем решения, подходящие по смыслу задачи.Делаем вывод и записываем ответ на вопрос задачи.Задача 1. Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.Решение:Решение:ЛодкаvtSПо течениюХ+1t1=120х+1120Против теченияХ-1t2=120х-1120Поскольку на обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше, то t2-t1=2 1 способ – алгебраический 2способ – арифметический t2-t1=2 120=12*10120х-1-120х+1=2 12-10=2120х+1-120(х-1)х+1(х-1)=2 120х-1-120х+1=2120х+120-120х+120=2(х2-1) первая дробь равна 12 при х=11240=2х2-2 вторая дробь равна 10 при х=11 2х2=242 значит, х=11 Ответ: 11 км/чх2=121 х1=11 х2=-11(л.к)Ответ: 11 км/чЗадача 2.Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.Решение:Лодка vtSПо течению Х+1t1=255х+1255Против теченияХ-1t2=255х-12551 способ – алгебраический 2способ – арифметический t2-t1=2 255=17*15255х-1-255х+1=2 17-15=2255х+1-255(х-1)х+1(х-1)=2 255х-1-255х+1=2255х+255-255х+255=2(х2-1) первая дробь равна 17 при х=16510=2х2-2 вторая дробь равна 15 при х=16 2х2=512 значит, х=16 Ответ: 16 км/чх2=256 х1=16 х2=-16(л.к)Ответ: 16 км/чЗадача 3.Баржа в 10: 00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 6 км/ч. Решение:Баржа vtSПо течению 7+хt1=157+х15Против течения7-хt2=157-х15 1 способ - алгебраический 2способ – арифметический 1 час 20 мин = 113 (ч)t=16-10-113=423 (ч) 157+х+157-х=423157+х+157-х=42 3 457+х+457-х=14 45=5●9157-х+15(7+х)7-х(7+х) = 143 первая дробь равна 5 при х=2105-7х+105+7х7-х(7+х)=143 вторая дробь равна 9 при х=2 21049-х2=143 Ответ: 2 км/ч14(49-х2)=3●21049-х2=45х2=4х1=2х2=-2(л.к.) Ответ: 2км/ч2.2. Геометрический метод решения задач на движение.Геометрическое представление условия текстовой задачи будем называть геометрической моделью этой задачи. Построение и использование геометрических моделей в процессе решения текстовых алгебраических задач основаны на законах геометрии. Отсюда и название «геометрический метод». Мы будем понимать геометрический метод, как метод, состоящий из двух приемов: конструктивного и конструктивно-аналитического.Конструктивный прием предполагает выполнение всех построений чертежными инструментами на миллиметровой бумаге в клетку с использованием масштаба. Ответ задачи получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей, и находится он путем измерений длин отрезков или других элементов чертежа.Конструктивно-аналитический прием позволяет выполнить чертеж схематически, от руки. Решение задачи в этом случае осуществляется аналитически: либо арифметическим путем с использование чертежа, либо путем составления уравнения, которое основывается на точных геометрических соотношениях (равенства, подобия, равновеликости и др.).Таким образом, для решения алгебраической задачи геометрическим методом необходимо:построить геометрическую модель задачи: на оси ОХ откладываем время(t,ч), на оси ОУ – расстояние (S, км/ч),найти ответ задачи: если модель решающая, то ответ «снимаем» с чертежа290639592075Задача 4. Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два посыльных. После встречи один из них был в пути еще 16 часов, а второй – 9 часов. Определить, сколько времени был в пути каждый посыльный. Решение. Пусть время движения до встречи каждого посыльного будет t. По условию задачи строим график .Используя подобие треугольников BOM и LOH а так же треугольников AOH и MON можно составить пропорцию: ; = 144; t = 12.Значит, 12 + 16 = 28 (часов) – был в пути первый, 12 + 9 = 21 (час) – был в пути второй.Ответ: 21 час и 28 часов.Задача 5. Из пункта М в N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта М выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от М к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 ч позже мотоциклиста? m(x)yxМВp(x)w(x)СNC1M1DOB1 Решение: 1 ч = 60 мин; 2 ч = 120 мин. Пусть p(x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени х, w(x) – зависимость преодоленного велосипедистом пути от времени х, m(x) – мотоциклистом. Построим графики этих функций на координатной плоскости.Треугольники MOB и M1OВ1 подобны (MOB= M1OВ1 ,OMB= OM1 В1). Тогда из подобия следует: MB:В1 M1=BO:OВ1 (1)Треугольники BOC и C1OB1 подобны (BOC = C1OB1, OBC = OC1B1). Из подобия следует следующее равенство: BC:B1 C1=BO:OC1 (2)Из равенства (1), (2) получаем: MB:C1 M1=BC:B1 C1 (3)Пусть C1M1 = х , тогда: MB=120, BC=30,B1 C1=60-хПодставляем значения в равенство (3): 120:х=30:(60-х) х=120(60-х):30 х=240-4х 5х=240 х=48(мин).Ответ: 48 минутЗадача 6.Из пункта А в пункт В вышел первый спортсмен. Одновременно с ним из пункта В в пункт А вышел второй спортсмен. Они t встретились в полдень. Первый спортсмен достиг противоположного пункта в 16 ч, второй в 21 ч. Определить, в какое время они вышли из своих пунктов.stABА1В1MNOtt4ч9чПусть АА1 –график движения первого спортсмена из А в В; ВВ1—график движения второго спортсмена из В в А. О—момент встречи (12ч). МА1=16 16ч-12ч=4ч; NB1=21ч-12ч=9ч; ВМ=АN=tч—время, пройденное спортсменами до встречи.подобен , тогда подобен , тогда Таким образом, по смыслу задачи t=6ч.Ответ: 6 часов.3. Задачи на совместную работу Задачи такого типа содержат в себе информацию о выполнении некоторой работы несколькими субъектами (рабочими, насосами, механизмами и т. п.). Объём работы в таких задачах обычно не указывается и не является искомым, а также предполагается, что выполняемая работа проводиться равномерно, т. е. с постоянной производительностью для каждого субъекта. В задачах на работу, системы уравнений содержат следующие величины:t - время выполнения работы;p - производительность, т. е. работа, производимая за единицу времени;A - работа, выполняемая за время.Эти три величины связаны соотношением  А= р●tЗадача 1. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?Решение: Обозначим через х число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает х+1 деталь. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей, значит t2 - t1 = 2Аpt1 рабочий99х+1t1=99х+12 рабочий110хt2=110х1 способ – алгебраический 2способ – арифметический 110х-99х+1=2 110х-99х+1=2110х+1- 99хх(х+1)=2 11-9 =2, первая дробь равна 11, 110х+110-99хх(х+1)=2 при х=10, а вторая равна 9, при х=102х2+2х-11х-110=0 Ответ: 10 деталей2х2-9х-110=0D=92-4●2●110=961=312Х1=9+312●2=10Х1=9-312●2=-224 (л.к.) Ответ: 10деталей в час делает второй рабочийЗадача 2. Антон и Петя красят забор за 8 часов, Петя и Дима выполняют эту же работу за 12 часов, а Антон и Дима – за 9,6 часа. За сколько часов выполнят эту работу мальчики, если будут работать втроем?Решение: Пусть 1-объем все работы, тогдаА+П=18П+Д=112А+Д=19,62(А+П+Д)= 18+112+19,6, 2(А+П+Д)= 12+8+1096А+П+Д=1596, А+П+Д=16,4 Ответ: за 6,4 часа В заключение следует сказать, что представленные задачи в исследовании – это лишь небольшой пример применения различных способов при решении текстовых задач. Надо сказать об одном важном моменте - выборе фабулы задач. Дело в том, что невозможно предусмотреть всех трудностей при решении задач. Но, тем не менее, в момент первоначального усвоения приёма решения какого-либо типа задач, их фабула должна быть как можно проще.Закончив исследование текстовых задач, рассмотрев методы работы (решения) над задачами и определив общие модели решения, мы можем сделать некоторые выводы и дать рекомендации, которые необходимо знать при сдаче ЕГЭ. При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения - в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны: здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где всех их найти просто невозможно.Решая системы, нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. была обнаружена задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена неверно. Приведённые образцы представляют особый случай, но они отражают направление - приближение школы к жизни.